Để chứng minh một tam giác có hai cạnh bằng nhau ta phải so sánh độ dài của hai cạnh đó và xác định xem chúng có bằng nhau không. Sau đây là bài viết về: Tam giác cân là gì? Cách chứng minh tam giác cân?
1. Thế nào là tam giác cân?
Tam giác cân là loại tam giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau và các góc ở đáy bằng nhau. Cụ thể, nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì đó là tam giác cân. Một tam giác cân có đường trung tuyến chia tam giác đó thành hai tam giác cân và đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác đó vuông góc với đáy. Tam giác cân là một trong những loại tam giác thường được sử dụng trong toán học và các lĩnh vực khác như vẽ, kiến trúc, vật lý, hóa học và hình học không gian.
Định nghĩa của một tam giác cân đã thay đổi một chút trong những năm qua. Ban đầu, Euclid, người đôi khi được gọi là Euclid của Alexandria và được coi là Cha đẻ của Hình học, đã định nghĩa một tam giác cân như sau: một tam giác có hai cạnh bằng nhau. Tuy nhiên, theo thời gian, trong khi tình cảm vẫn như cũ, thuật ngữ đã thay đổi một chút. Định nghĩa hiện đại nhất về tam giác cân là tam giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau. Sự khác biệt này có vẻ nhỏ, nhưng nó có nghĩa là, theo tiêu chuẩn hiện đại, một tam giác đều có ba cạnh bằng nhau là trường hợp đặc biệt của tam giác cân.
Trong trường hợp tam giác cân có hai cạnh bằng nhau thì các cạnh bằng nhau gọi là hai chân của tam giác và cạnh thứ ba là đáy.
Nguồn gốc của tên: Isosceles lấy tên của nó từ gốc Hy Lạp ‘isos’, có nghĩa là bình đẳng và ‘skelos’, có nghĩa là bàn chân.
2. Tính chất của tam giác cân:
Sau đây là một số tính chất của tam giác cân:
Hai cạnh đáy của tam giác cân bằng nhau.
Hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau.
– Đường trung trực kẻ từ đỉnh đến đường cân sẽ cắt đường ở chính giữa đường cân và có độ dài bằng một nửa đoạn thẳng.
– Đường cao vẽ từ đỉnh của tam giác vuông góc với đáy của nhị diện.
– Một tam giác cân có trọng tâm, đường trung tuyến, đường cao, tâm đường tròn và tâm đường tròn trùng nhau.
– Diện tích tam giác cân bằng bán kính hình tròn nhân với nửa đường tròn của tam giác, hay tích của đường cao và đáy của tam giác chia đôi.
– Tam giác cân là một trong các tam giác đều, có ba đường phân giác vuông góc với nhau và có chung một điểm.
– Tam giác đối xứng qua đường cân và qua đường trung tuyến cũng như chiều cao.
Nếu trong một tam giác có đường trung tuyến bằng chiều cao thì tam giác đó là tam giác cân.
Các tính chất trên đều là những kiến thức cơ bản về tam giác cân, chúng ta có thể vận dụng vào các bài toán hình học và giải các bài toán liên quan đến tam giác cân.
3. Các dạng tam giác cân:
Nói chung, tam giác cân được phân thành ba loại khác nhau:
– Tam giác cân nhọn: Tam giác cân là tam giác có ba góc nhỏ hơn 90° và ít nhất hai góc có số đo bằng nhau. Một ví dụ về các góc của một tam giác cân cấp tính là 50°, 50° và 80°.
– Góc vuông của tam giác: Dưới đây là ví dụ về một tam giác vuông có hai cạnh (và các góc tương ứng của chúng) có số đo bằng nhau.
– Tam giác cân: Tam giác cân là tam giác có một trong ba góc tù (từ 90° đến 180°) và hai góc nhọn còn lại có số đo bằng nhau. Một ví dụ về tam giác cân là 30°, 30° và 120°.
4. Diện tích và chu vi tam giác cân:
Diện tích của một tam giác cân được cho bởi công thức sau:
Diện tích (A) = × đáy (b) × chiều cao (h)
Chu vi của một tam giác cân được cho bởi công thức:
Chu vi (P) = 2a + đáy (b)
Ở đây, ‘a’ là độ dài của các cạnh bằng nhau của tam giác cân và ‘b’ là độ dài của cạnh không bằng nhau thứ ba.
Các ví dụ đã giải
ví dụ 1
Chiều cao của một tam giác cân với diện tích 12 cm vuông và đáy 6 cm là gì?
Giải pháp:
Diện tích tam giác cân = x đáy x chiều cao
tức là 12 = x 6 x chiều cao
tức là 12 = 3 x chiều cao
tức là chiều cao = 4 cm
ví dụ 2
Chu vi của một tam giác cân là bao nhiêu, nếu mỗi cạnh bằng nhau là ‘a’ cm và cạnh không bằng nhau là ‘b’ cm?
Giải pháp:
Chu vi tam giác cân = tổng các cạnh
Chu vi tam giác cân = (a + a + b) cm nên (2a + b) cm
ví dụ 3
Tìm chu vi của một tam giác cân có đáy là 16 cm và có các cạnh bằng 24 cm.
Giải pháp:
Công thức tính chu vi tam giác cân, P = 2a + b
Ở đây, a (cạnh) = 24 cm và b (đế) = 16 cm
Do đó, chu vi của một tam giác cân, P = 2(24) + 16 = 64 cm.
Vậy chu vi là 64 cm.
5. Các cách chứng minh tam giác cân:
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta có thể áp dụng hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Để chứng minh một tam giác có hai cạnh bằng nhau ta phải so sánh độ dài của hai cạnh đó và xác định xem chúng có bằng nhau không. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng thước đo góc để đo chiều dài của hai cạnh và so sánh chúng. Nếu hai cạnh có độ dài bằng nhau thì tam giác cân.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.
+ Thử cách 1:
Theo kết quả ta có:
ΔABD =ACD
=> AB = AC
=> Tam giác ABC cân tại A
Cách 2: Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau.
Để chứng minh một tam giác có hai góc bằng nhau ta phải đo độ lớn của hai góc đó và xác định xem chúng có bằng nhau hay không. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng thước đo góc để đo kích thước của hai góc và so sánh chúng. Nếu hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
+ Thử cách 2:
Theo kết quả ta có:
∆ ABD = ACD
=> Góc B = C
=> Tam giác ABC cân tại A
Ngoài hai cách trên, ta còn có thể áp dụng tính chất của tam giác cân để chứng minh một tam giác là tam giác cân. Chẳng hạn, nếu biết tam giác có đường trung bình bằng chiều cao thì tam giác đó là tam giác cân. Nếu biết tam giác có trung điểm của đường phân giác trùng với đường trung tuyến thì tam giác đó cũng là tam giác cân.
Trong toán học, chứng minh một tam giác là tam giác cân không chỉ là việc xác định các tính chất của một hình học mà còn là bài toán nâng cao năng lực tư duy logic và khả năng suy luận của học sinh.
Bài tập: Cho tam giác PQR có PQ = PR. Chứng minh tam giác PQR là tam giác cân.
Lời giải: Ta cần chứng minh PQ = PR và ∠Q = ∠R. PQ = PR (điều kiện cho trước) ∠P là góc giữa hai cạnh PQ và PR.
Ta cần chứng minh rằng ∠Q = ∠R. Sau đó, ta sẽ chứng minh tam giác PQR là tam giác cân.
Ta có: ∠P = ∠Q + ∠R (theo công thức tổng các góc trong một tam giác). Nhưng vì PQ = PR nên ∠Q = ∠R (theo định lý cạnh-góc-cạnh).
Vậy tam giác PQR là tam giác cân.
Kết luận: Tam giác PQR là tam giác cân vì PQ = PR và ∠Q = ∠R.
Bài tập: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trung tuyến BM của tam giác ABC cắt đường cao CH tại điểm N. Chứng minh tam giác BMN là tam giác cân.
Giải: Biết AB = AC nên tam giác ABC là tam giác cân. Do đó đường cao CH cũng là trung trực của các đoạn thẳng AB và AC. Như vậy, ta có BN = CN. Do đó tam giác BMN có hai cạnh BM và BN bằng nhau nên là tam giác cân.
Bài tập: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM bằng đoạn thẳng AC. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Giải: Ta có BM là trung tuyến của tam giác ABC, tức là BM chia AC thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Do đó ta có AB = BC và BM = MC. Suy ra tam giác ABC là tam giác cân.
Bài tập: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM. Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của AC. Chứng minh IK là đường cao của tam giác BMK.
Giải: Ta có BM là trung tuyến của tam giác ABC, tức là BM chia AC thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Do đó ta có AB = BC và BM = MC. Suy ra tam giác ABC là tam giác cân và trung tuyến BM cũng là đường cao của tam giác ABC.
Vì I là trung điểm của AB nên BI = IA. Tương tự, ta có KC = CA. Như vậy, ta có BI = KC. Do đó tam giác BIK là tam giác cân. Vì IK vuông góc với BM và IK cắt BM tại trung điểm của BM nên IK là đường cao của tam giác BMK.
Cảm ơn bạn đã đọc bài viết Tam giác cân là gì? Các cách chứng minh tam giác cân? . Đừng quên truy cập Cakhia TV kênh trực tiếp bóng đá số 1 Việt Nam hiện nay để có những phút giây thư giãn cùng trái bóng tròn !
